邻域

点集 $U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P|| P P_{0} \mid<\delta\right\}$,称为点 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域. 例如,在平面上， $$U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{(x, y) \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta\right\}(圆邻域)$$

在空间中， $$ U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{(x, y, z) \mid \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}<\delta\right\} (球邻域)$$

说明：若不需要强调邻域半径 $\delta$,也可写成 $U\left(P_{0}\right)$. 点 $P_{0}$ 的去心邻掝记为 ${ }_{U}^{0}\left(P_{0}\right)=\left\{P \mid 0<P P_{0}<\delta\right\}$

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.

平面上的方邻域为 $$ \mathrm{U}\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{(x, y)|| x-x_{0}|<\delta,| y-y_{0} \mid<\delta\right\} $$

区域

(1) 内点、外点、边界点 设有点集 $E$ 及一点 $P$ :

• 若存在点 $P$ 的某邻域 $U(P) \subset E$, 则称 $P$ 为 $E$ 的内点；
• 若存在点 $P$ 的某邻域 $U(P) \cap E=\varnothing$, 则称 $P$ 为 $E$ 的外点;
• 若对点 $P$ 的任一邻域 $U(P)$ 既含 $E$ 中的内点也含 $E$ 的外点, 则称 $P$ 为 $E$ 的边界点. 显然, $E$ 的内点必属于 $E, E$ 的外点必不属于 $E, E$ 的 边界点可能属于 $E$, 也可能不属于 $E$.

(2) 聚点
若对任意给定的 $\delta$ ，点 $P$ 的去心 邻域 $U(P, \delta)$ 内总有 $E$ 中的点, 则 称 $P$ 是 $E$ 的聚点. 聚点可以属于 $E$, 也可以不属于 $E$ (因为聚点可以为 $E$ 的边界点） 所有聚点所成的点集成为 $E$ 的导集.

(3) 开区域及闭区域

• 若点集 $E$ 的点都是内点，则称 $E$ 为开集；
• $E$ 的边界点的全体称为 $E$ 的边界, 记作 $\partial E$;
• 若点集 $E \supset \partial E$, 则称 $E$ 为闭集；
• 若集 $D$ 中任意两点都可用一完全属于 $D$ 的折线相连, 则称 $D$ 是连通的;
• 连通的开集称为开区域, 简称区域;
• 开区域连同它的边界一起称为闭区域.

$n$ 维空间

$n$ 元有序数组 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的全体称为 $n$ 维空间, 记作 $\mathrm{R}^{n}$, 即 $$ \begin{aligned} \mathrm{R}^{n} &=\mathrm{R} \times \mathrm{R} \times \cdots \times \mathrm{R} \\ &=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{k} \in \mathrm{R}, k=1,2, \cdots, n\right\} \end{aligned} $$ $n$ 维空间中的每一个元素 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 称为空间中的 当所有坐标 $x_{k}=0$ 时, 称该元素为 $\mathrm{R}^{n}$ 中的零元, 记作 $O$.

$\mathrm{R}^{n}$ 中的点 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 与点 $y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$ 的距离记作 $\rho(x, y)$ 或 $\mid x-y \|$ ，规定为 $$ \rho(x, y)=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}} $$ $\mathrm{R}^{n}$ 中的点 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 与零元 $O$ 的距离为 $$ |x|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} $$ 当 $n=1,2,3$ 时, $|x|$ 通常记作 $x$. $\mathrm{R}^{n}$ 中的变元 $x$ 与定元 $a$ 满足 $\|x-a\| \rightarrow 0$ 记作 $x \rightarrow a$. $\mathrm{R}^{n}$ 中点 $a$ 的 $\delta$ 邻域为 $$ U(a, \delta)=\left\{x \mid x \in \mathrm{R}^{n}, \rho(x, a)<\delta\right\} $$

定义1. 设非空点集 $D \subset \mathrm{R}^{n}$, 映射 $f: D \mapsto \mathrm{R}$ 称为定义 在 $D$ 上的 $n$ 元函数, 记作 $$ u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \text { 或 } u=f(P), P \in D $$ 点集 $D$ 称为函数的定义域; 数集 $\{u \mid u=f(P), P \in D\}$ 称为函数的值域. 特别地, 当 $n=2$ 时, 有二元函数 $$ z=f(x, y), \quad(x, y) \in D \subset \mathrm{R}^{2} $$ 当 $n=3$ 时, 有三元函数 $$ u=f(x, y, z), \quad(x, y, z) \in D \subset \mathrm{R}^{3} $$

例如, 二元函数 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 定义域为圆域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 图形为中心在原点的上半球面. 又如, $z=\sin (x y),(x, y) \in \mathrm{R}^{2}$ 说明: 二元函数 $z=f(x, y),(x, y) \in D$的图形一般为空间曲面 $\Sigma$.

三元函数 $u=\arcsin \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 定义域为单位闭球 $$ \left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\} $$ 图形为 $\mathrm{R}^{4}$ 空间中的超曲面.

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